Синус косинус тангенс половинного угла примеры решения. Формулы половинного угла в тригонометрии

Содержание

Тригонометрические тождества и преобразования
Тригонометрия – синус, косинус, тангенс, котангенс
Формулы половинного угла тригонометрических функций
Синус косинус тангенс половинного угла примеры решения. Формулы половинного угла в тригонометрии
Все тригонометрические формулы
Формулы синус косинус и тангенс половинного угла | Помощь школьнику

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.

Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2) Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.

Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5) Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6) Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа). Косинус “минус альфа” даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.

Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой – удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой – квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки.

Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению. Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой – сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель – единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель – единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой – произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла – преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.

В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:
Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце – угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 – α π/2- α	180 – α π- α	270 – α 3π/2- α	360 – α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α

Начать курс обучения

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson324/

Тригонометрия – синус, косинус, тангенс, котангенс

Возьмём x-axis и y-axis (orthonormal) и пусть O будет началом. Окружность с центром в точке O и с радиусом = 1известна как тригонометрическая окружность или единичная окружность.Если P точка на окружности и t это угол между PO и x тогда:

x-координата P называется косинусом t. Записывается как cos(t);
y-координата P называется синусом t. Записывается как sin(t);
Число sin(t)/cos(t) называется тангенсом t. Записывается как tg(t);
число cos(t)/sin(t) называется котангенсом t. Записывается как ctg(t).

sin : R -> R
Все тригонометрические функции являются периодическими.

Период синуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция косинуса

cos : R -> R
Период косисинуса равен 2π.
Диапазон функции: [-1,1].

Функция тангенса

tg : R -> R
Диапазон функции равен R.В этом случае период равенπ и функия не может быть определена для
x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,…
График функции тангенса в интервале 0 – π

Анимираная графика тангенса(открыть в новом окне):
График функции тангенса в интервале 0 – 2π

Функция котангенса

ctg : R -> R
Диапазон функции равен R.В этом случае период равен π и функция не может быть определена для
x = kπ, k=0,1,2,…

Значения sin, cos, tan, cot при значениях углов 0°, 30°, 60°, 90°, 120°,135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

$\alphao$$0o$$30o$$45o$$60o$$90o$$120o$$135o$$150o$$180o$$210o$$225o$$240o$$270o$$300o$$315o$$330o$$360o$

$\alpha rad$

$0$

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{6}$

$\pi$

$\frac{7\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{4\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{4}$

$\frac{11\pi}{6}$

$2\pi$

$sin\alpha$

$0$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2}$

$0$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-1$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$0$

$cos\alpha$

$1$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2}$

$0$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-1$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$0$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$tan\alpha$

$0$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$1$

$\sqrt{3}$

$-$

$-\sqrt{3}$

$-1$

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$0$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$1$

$\sqrt{3}$

$-$

$-\sqrt{3}$

$-1$

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$0$

$cot\alpha$

$-$

$\sqrt{3}$

$1$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$0$

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$-1$

$-\sqrt{3}$

$-$

$\sqrt{3}$

$1$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$0$

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$-1$

$-\sqrt{3}$

$-$

Самый простой способ, чтобы запомнить основные значения sin и cosуглов 0°, 30°, 60°, 90°:
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = $\sqrt{\frac{[0, 1, 2, 3, 4]}{4}}$

Тригонометрические тождества

Для t радиан одна точка соответствует с координатами P(cos(t),sin(t)) на единичной окружности. Квадрат расстояния [OP] = 1. Вычисляя расстояние для этой точки с координатами P, для каждого t мы получим:

cos2(t) + sin2(t) = 1

Если t + t' = 180° тогда:

sin(t) = sin(t')
cos(t) = -cos(t')
tg(t) = -tg(t')
ctg(t) = -ctg(t')

Если t + t' = 90° тогда:

sin(t) = cos(t')
cos(t) = sin(t')
tg(t) = ctg(t')
ctg(t) = tg(t')

$-\alpha$	$90\circ – \alpha$	$90\circ + \alpha$	$180\circ – \alpha$
$\textrm{ sin }$	$-\textrm{ sin }\alpha$	$\textrm{ cos }\alpha$	$\textrm{ cos } \alpha$	$\textrm{ sin }\alpha$
$\textrm{ cos }$	$\textrm{ cos }\alpha$	$\textrm{ sin }\alpha$	$-\textrm{ sin} \alpha$	$-\textrm{ cos }\alpha$
$\textrm{ tg }$	$-\textrm{ tg }\alpha$	$\textrm{ ctg }\alpha$	$-\textrm{ ctg } \alpha$	$-\textrm{ tg }\alpha$
$\textrm{ ctg }$	$-\textrm{ ctg }\alpha$	$\textrm{ tg }\alpha$	$-\textrm{ tg } \alpha$	$-\textrm{ ctg }\alpha$

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или ||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте ||| или |V

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |V

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |||

$tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$+ если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

– если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

$\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$

$\cos(2u) = \cos2(u) – \sin2(u) = 2\cos2(u) – 1 = 1 – 2\sin2(u)$

$\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }2(u)}$

$\cos(2u) = \frac{1 – \textrm{ tg }2(u)}{1 + \textrm{ tg }2(u)}$

$\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }2(u)}$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha – 4 \sin3\alpha$

$\cos3\alpha = 4\cos3\alpha – 3 \cos\alpha$

$\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }3\alpha}{1-3\textrm{ tg }2\alpha}$

$\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }2\alpha-1}$

$\sin4\alpha = 4\cos3\alpha\sin\alpha – 4\cos\alpha \sin3\alpha$

$\cos4\alpha = \cos4\alpha – 6\cos2\alpha\sin2\alpha + \sin4\alpha$

$\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha – 4\textrm{ tg }3\alpha}{1-6\textrm{ tg }2\alpha+\textrm{ tg }4\alpha}$

$\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }4\alpha-6\textrm{ ctg }2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$

Формулы понижения степени

$\sin2(\alpha)=\frac{1 – \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha – \sin(3\alpha)}{4}$

$\sin4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) – 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$

$\cos2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

$\cos3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

$\cos4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

Формулы сложения

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha – \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 – \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$

$\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma – \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma – \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma – \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $
$- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma – \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta – \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ sin } \alpha – \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha – \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2}$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha – \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

Формулы произведения

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) – \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha – \beta))$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

Универсальная тригонометрическая подстановка

$\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

Другие формулы

$1\pm\sin\alpha=2\sin2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$

$\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha – 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$

$\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

Тригонометрия на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/trigonometriya.html

Формулы половинного угла тригонометрических функций

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи здесь!!!

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул.

Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac{\alpha}2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла.

Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}“cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}“tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `\frac{\alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}2“cos2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2“tg2 \ \frac \alpha 2=\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}`

`ctg2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `\alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `\alpha`, при которых определен `tg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alphae\pi+2\pi n, \ n \in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \frac \alpha 2`, то есть при ` \alphae 2\pi n, \ n \in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `\alpha` через тангенс половинного угла.

`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alphae \pi +2\pi n, n \in Z“cos \ \alpha= \frac{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi +2\pi n, n \in Z“tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha e \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`

`ctg \ \alpha = \frac{1 — tg{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha e \pi n, n \in Z,` `\alpha e \pi + 2\pi n, n \in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos2 \alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos \alpha=1-2 \ sin2 \frac \alpha 2` и `cos \alpha=2 \ cos2 \frac \alpha 2-1`.

Выразив из первого равенства ` sin \frac \alpha 2` получим `sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos \frac \alpha 2` в результате будем иметь `cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos \frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg \frac \alpha 2=\frac{sin\frac \alpha 2}{cos \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}` и `ctg \frac \alpha 2=\frac{cos\frac \alpha 2}{sin \frac \alpha 2}=` `\frac{\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}}{\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}}=` `\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15\circ`, если известно, что `cos 30\circ=\frac{\sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos2 \ \frac \alpha 2=\frac {1+cos \ \alpha}2`.

Подставив известные значения, имеем `cos2 15\circ=\frac {1+cos 30\circ}2=` `\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2=\frac{2+\sqrt3}4`. Имея значение `cos2 15\circ`, найдем `cos 15\circ`.

Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}4}=` `\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5`, если `cos \alpha=\frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4\sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}+2cos \alpha+5=4\sqrt{\frac {1+\frac {1}8}2}+2 \cdot \frac {1}8+5=` `4\sqrt{\frac {9}16}+\frac{1}4+5=8\frac{1}4`.

Ответ. `4cos \frac {\alpha}2+2cos \alpha+5=8\frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

(3 , рейтинг: 3,67 с 5)
Загрузка…

Источник: https://matemonline.com/dh/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/formuly-polovinnogo-ugla/

Синус косинус тангенс половинного угла примеры решения. Формулы половинного угла в тригонометрии

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома.

Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка».

Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день.

За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом.

Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали.

Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес.

Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.

Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта.

Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.

) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.

Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Алексей:

Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α 2 при помощи тригонометрических функций угла α . В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α . Формулу для t g любого угла α определяет t g α 2 , значение угла α ≠ π + 2 π · z при z равном любому целому числу (выражение 1 + cos α с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула c t g угла считается справедливой для любого угла α , где половинный угол имеет место быть, α ≠ 2 π · z .

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sin α 2 = ± 1 – cos α 2 , cos α 2 = ± 1 + cos α 2 , t g α 2 = ± 1 – cos α 1 + cos α , c t g α 2 = ± 1 + cos α 1 – cos α

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α 2 .

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного углаосновывается на формулах cos двойного угла cos α = 1 – 2 · sin 2 α 2 и cos α = 2 · cos 2 α 2 – 1 . Упростив первое выражение по sin 2 α 2 , получим саму формулу половинного угла sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 , второе выражение по cos 2 α 2 получим cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Чтобы доказать формулы половинного угла для t g и c t g угла α 2 , необходимо применить основные тригонометрические тождества t g α 2 = sin α 2 cos α 2 и c t g α 2 = cos α 2 sin α 2 , к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin , которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

t g 2 α 2 = sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 1 – cos α 2 1 + cos α 2 = 1 – cos α 1 + cos α ; c t g 2 α 2 = cos 2 α 2 sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 1 + cos α 2 = 1 + cos α 1 – cos α ;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Пример 1

Известно, что cos 30 ° = 3 2 . Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Решение

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos 2 15 ° = 1 + cos 30 ° 2 = 1 + 3 2 2 = 2 + 3 4 . После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти.

Там косинус угла имеет положительное значение (чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos 2 15 ° = 2 + 3 4 , тогда cos 15 ° = 2 + 3 4 = 2 + 3 2 .

Ответ: cos 15 ° = 2 + 3 2 .

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α 2 и α , а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin 2 7 α = 1 – cos 14 α 2 или sin 2 5 α 17 = 1 – cos 10 α 17 2 , то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день.

Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.

Последние отзывы

Алексей:

Источник: https://www.yuriste.ru/sinus-kosinus-tangens-polovinnogo-ugla-primery-resheniya-formuly/

Все тригонометрические формулы

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Основные формулы тригонометрии

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами.

А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул.

Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье основные тригонометрические тождества.

К началу страницы

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

К началу страницы

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье формулы половинного угла.

К началу страницы

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

К началу страницы

Формулы синус косинус и тангенс половинного угла | Помощь школьнику

Рассмотрены простейшие построения, план решения задач на построение, решаются четыре задачи более сложного уровня, приведены примеры с указаниями к решению некоторых задач. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание (слайд 16).

Формулы синус косинус и тангенс половинного угла

Тригонометрические функции: $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$

Синус половинного угла

Примечание : Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол $\alpha/2$ в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.

Косинус половинного угла

Тангенс половинного угла

Котангенс половинного угла

Выражение синуса через тангенс половинного угла

Выражение косинуса через тангенс половинного угла

Выражение тангенса через тангенс половинного угла

Выражение котангенса через тангенс половинного угла

Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.

Формулы половинного угла тригонометрических функций

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `\frac2` через эти ж функции аргумента `\alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Лекция 14. Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Найдите sin X и cos X, если и

Для вывода Формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

Поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Источник: https://poiskvstavropole.ru/2018/01/28/formuly-sinus-kosinus-i-tangens-polovinnogo-ugla/